【初めての5ch】誰かが名状しがたい何かをかき混ぜるスレ1【闇討ち歓迎】

440 ：最近彼女出来ました ：2018/09/29(土) 13:53:05.05 .net

>>437を証明する
Dの部分集合
f^(n)(a)→f(a)をn回微分したもの 読みにくくすまない
O_1={a∈D；f^(n)(a)=0,n=1,2,…}及び,O_2=D−O_1を考える
O_2は開集合(境界を含まない集合)である。何故なら、任意にa∈O_2に対し、f^(n_0)(a)≠0が存在し、
f^(n_0)の連続性から、aの近傍U(⊂D)上でもf^(n_0)(a)≠0,従って、U⊂O_2が言え
aはO_2の内点である。(もし、aがO_2の境界点であったならば近傍UがO_2の外にはみ出すはずである)
O_1も開集合である。なぜなら,fは正則であるから、任意のa∈O_1に対しfは、
{Δ_R(a)}^￣⊂Dを満たす開円板Δ_R(a)上でf(z)=Σ^∞_n=1{c_n(z−a)^n }の形に、
展開されるが(>>436参照f(z)の式{}が抜けて読みにくくすまない)
O_1の定義(f^(n)(a)=0)からc_n={f^(n)(a)}／(n!)=0(n=1,2,…)が言え、Δ_R(a)上で
f≡c_0(fは恒等的にc_0に等しいと言う意味 )となる。
これより、Δ_R(a)⊂O_1( Δ_R(a)はf≡c_0になるような範囲に取れば十分で、
この時勿論f^(n)(a)=0(これはO_1の条件である)となるから。要約していうとΔ_R(a)上でf^(n)(a)=0 )
となり、aはO_1の内点である
これによりDの連結性が言えた
仮定から、a∈O_1,従ってO_1≠Ø。O_jの定義よりD=O_1∪O_2,O_1∩O_2=Øが成り立つ
Dの連結性から、O_2=ØかつD=O_1が帰結される
従って、f`≡0となり、fはD上で定数である。
Q.E.D