不動産鑑定士とは何だったのか？ part10

10 ：名無し検定１級さん：2020/08/01(土) 08:55:44.53 ID:hj8Jf/9G.net

>>113
はい証明
逆ラプラス変換の証明はあんたがやってみせろ
人に吹っ掛けるくらいなんだからあんたもできるんだよな？

i(0) = 0と仮定
i(t)のラプラス変換I(s)は I(s) = ∫[0→∞]i(t)*e^(-s*t)dt -★
分かりやすくとのことなのでiをi(t)、乗算を*で表示し適当に言葉を交えて記載
>>113をわかりやすく表示するとE = R*i(t)+L*di(t)/dt- �@

�@の両辺をラプラス変換する
まず左辺
i(t) = Eについてラプラス変換
i(t) = 1のラプラス変換の公式よりE*(1/s)となりE/s ※公式の導出は以下�A参照
次に右辺
L*(di(t)/dt)をラプラス変換
i(t) = di(t)/dtのラプラス変換の公式よりL*(s*I(s)-i(0)) ※公式の導出は以下�B参照
仮定よりi(0) = 0なのでL*s*I(s)
またR*i(t)についてラプラス変換
★よりi(t)のラプラス変換がI(s)と定義されているのでR*I(s)

上記より�@式の両辺をラプラス変換すると
E/s = L*s*I(s)+R*I(s) 整理して
E/s = I(s)*(L*s+R) 移項して
E/(s*(s*L+R) = I(s) 左辺と右辺を入れ替えて
I(s) = E/(s*(s*L+R) -【答え】

以下公式の導出
★よりi(t) = 1のラプラス変換はI(s) = ∫[0→∞]e^(-s*t)dtとなる
変形してE*[(-1/s)*e^(-s*t)][0→∞]となり、
lim[t→∞]((-1/s)*e^(-s*t)) + 1/s = 1/sより
よってi(t) = 1のラプラス変換はI(s) = 1/s - �A

★よりi(t) = di(t)/dtのラプラス変換はI(s) = ∫[0→∞](di(t)/dt)*e^(-s*t)dtとなる
定積分の部分積分法より∫[0→∞](di(t)/dt)*e^(-s*t)dtは
[i(t)*e^(-s*t)][0→∞]-∫[0→∞]i(t)*(-s*e^(-s*t))dtとなる
[i(t)*e^(-s*t)][0→∞]は0-i(0)*e^(-s*0)となるので、[i(t)*e^(-s*t)][0→∞]　=　-i(0)
-∫[0→∞]i(t)*(-s*e^(-s*t))dtは-(-s)*∫[0→∞]i(t)*e^(-s*t)dtと変形すると、
★より-(-s)*I(s)となり、s*I(s)
よってi(t) = di(t)/dtのラプラス変換はI(s) = s*I(s)-i(0) - �B